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日付と素数

2019.06.13(Thu)

●池袋校:滝澤    ●カテゴリー:

 

ある特別な素数について考えます。たとえば6353は素数ですが、この数の一番左の数を消した353も素数です。また、さらに一番左の数を消した53も素数で、最後に左側の数を消した3も素数になります。このような素数を「スペシャル素数」と呼ぶことにします。

いま、日付について、月、日の順に数字を並べて、2けた~4けたの数を考えます。例えば、613日ならば、613とする、ということです。これらの数の中でスペシャル素数になる日付は何回あるのでしょうか。

 

2けたの数になる場合、1313日)、1717日)、2323日)、3737日)、4343日)、5353日)、6767日)、7373日)、8383日)、9797日)の10回です。

 

3けたの数になる場合

113113日または113日)、223223日)、313313日)、317317日)、523523日)、613613日)、617617日)、823823日)の9回です。113113日と113日が考えられるので日付は2回と数えます。凡ミスをしないように。

 

そして最後に4けたの数になる場合は、実は1日しかありません。昨年までは祝日だったのに今年からは平日になるあの日ですね。わかりますよね。

部分分数分解の問題

2018.03.08(Thu)

●エクタス事務局    ●カテゴリー:

※解答の一部に誤りがあったため、3月8日に再掲載しました。


 

部分分数分解(キセル算と呼ばれることもあります)の変った問題を作ってみました。

分子と分母をよく見比べると,正答への筋道が見えてくるでしょう。力づくの計算は,もちろん避けてください。

 

問題

次の式を計算しなさい。

 





行をあけて,解答を以下に書きます。

 

 




















小立方体通過の問題 解答編

2017.05.19(Fri)

●吉祥寺校:太田    ●カテゴリー:

 

1週間前にあげた問題の答え合わせです。

たてに24個立方体を並べたことから,対角線ABは24等分され,1/242/243/24,...,24/24ごとに,たての向きの面を通過します。24/24は頂点Bに対応しています。また,横に36個立方体を並べたことから,対角線ABは36等分され,1/362/363/36,...,36/36ごとに,横の向きの面を通過します。36/36も頂点Bに対応しています。この2つの分数の列において,共通して現れる分数は何でしょうか。それは,約分することで1/122/123/12,...,12/12になる12個の分数です。よって,頂点Bに対応する12/12を含めて,12回対角線ABは2つの方向の面を同時に通過します。対角線ABがちょうど2つの面を同時に通過すると立方体の辺を,ちょうど3つの面を同時に通過すると立方体の頂点を通過します。このように,分数の列の問題として,考えを進めてみましょう。

 

(1)高さの方向にx個積むことで,3つ目の分数の列1/x,2/x,3/x,...,x/xができます。3つの分数列1/242/243/24,...,24/241/362/363/36,...,36/361/x,2/x,3/x,...,x/xにおいて,1/122/123/12,...,12/12がすべてに現れ,かつ,ちょうど2つの分数列に共通して現れる分数がなければ,辺を通過する回数は0回となります。このようなxとして考えられる最も小さい整数は12です。このとき,辺を通過する回数は0回になります。また,xが12×5=6012×7=8412×11132などであっても,辺を通過する回数は0回となります。

(2)2つの分数列1/242/243/24,...,24/241/362/363/36,...,36/36,に現れる分数すべてが現れるような最小のxは,2436の最小公倍数である72です。このとき,1/122/123/12,...,12/12は3つの分数列に現れ,それ以外の分母2436の分数列に現れていた分数は,ちょうど2つの分数列に現れることになるので,(2412)+(3612)=36(回)辺を通過します。

(3)2つの分数列1/242/243/24,...,24/24と,1/362/363/36では,12個の分数が2つの分数列に共通して現れ,(2412)+(3612)=36(個)の分数が1回ずつ現れます。1回ずつ現れている分数をできるだけ2回現れる分数(=辺の通過)にしつつ,2つの分数列にはなかった新しい分数(=面の通過)ができるだけ少ないような数xを探します。

x=72の場合,72-(1236)=24(個)の分母72の分数が重複しないので,面の通過は24回です。

x=24の場合,分母24の分数は全て重複するが,分母36の分数のうち361224(個)が重複しないので,面の通過はやはり24回です。

x=36の場合,分母36の分数は全て重複するが,分母24の分数のうち241212(個)が重複しないので,面の通過は12回です。これが最小となります。

よって,x=36で,面の通過は12回です。

小立方体通過の問題

2017.05.12(Fri)

●吉祥寺校:太田    ●カテゴリー:

以下に紹介するのは,小立方体を組み合わせて作った直方体の対角線の問題です。長方形・直方体の対角線が正方形・立方体をいくつ通過するのかを問う問題は,受験算数の伝統的な典型問題です。ただし,今回紹介する問題は,数の性質をきっちりと考えないと正解できないようになっています。小学5年生以上であれば取り組める問題にしてあります。楽しんでいただければ幸いです。解答は1週間後に書き込みます。

 

1辺の長さが1㎝である小立方体を,たてに24個,横に36個,高さ方向にx個積んで直方体をつくります。次の問いに答えなさい。ただし,以下において,頂点を通過した回数は辺や面を通過した回数には含めず,辺を通過した回数は面を通過した回数には含めません。


(1)対角線ABが両端の点A,Bを除いて辺を通過する回数が最も少なくなるときの,xにあてはまる整数と,辺を通過する回数を求めなさい。


(2)対角線ABが両端の点A,Bを除いて辺を通過する回数が最も多くなるときの,xにあてはまる整数として考えられるもののうちで最小のものと,辺を通過する回数を求めなさい。


(3)対角線ABが両端の点A,Bを除いて面を通過する回数が最も少なくなるときの,xにあてはまる整数と,面を通過する回数を求めなさい。

小立方体通過の問題
灘中学のかんたんな算数の問題

2017.03.25(Sat)

●池袋校:滝澤    ●カテゴリー:

 

3けたの整数ABCを4分の3にすると3けたの整数BCAになり,

さらにBCAを4分の3にすると3桁の整数CABになります。

このような3桁の整数ABCは全部で2つあります。それぞれ求めなさい。

2017 灘中1日目・改)

 

この問題を読んで、どんなことがわかるでしょうか。

 

① 3けたの整数ABCは16の倍数であること

② 3けたの整数CABは9の倍数であること

③ A+B+Cは9の倍数であること

④ ①と③から,3けたの整数ABCは144の倍数であること

  →144,288,432,576,720,864

⑤ 大きい順に,A>B>Cであること。

  →432,720,864

⑥ AとCは偶数であること

  →432,864

 

これだけのことがわかれば解答は簡単に求めることができます。

算数の問題を解くためには,問題文を別の言葉で言い換える力が必要です。

そして「自分にわかることは何なのかをていねいに整理すること」が

正解への近道となります。

麻布中算数大問6に挑戦! の解説

2017.03.11(Sat)

●吉祥寺校:太田    ●カテゴリー:

先週,ヒント付きで出題した麻布中大問6の解説です。

292を素因数分解すると,2×2×73ですから,[A]は4の倍数です。よって,下2桁は12ときまります。
また,10001は73の倍数です。1001の倍数で下2桁が12となることから,10001×10+10001×2=120012より,AB12AB12の

形になればよいことがわかります。
ABについて場合分けを行うと,以下のようになります。

○AB=11のとき
[A]=11121112であるから,11121112←[11112][11112]←[211112]

○AB=12のとき
[A]=12121212であるから,
12121212←[112][112][112][112]←[2112][2112]←[22112]
12121212←[11212][11212]←[211212]

○AB=21のとき
[A]=21122112であるから,21122112←[12112][12112]←[212112]

○AB=22のとき
[A]=22122212であるから,22122212←[12212][12212]←[212212]

以上より,22112,211112,211212,212112,212212が答えとなります。
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