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日付と素数

2019.06.13(Thu)

●池袋校:滝澤    ●カテゴリー:

 

ある特別な素数について考えます。たとえば6353は素数ですが、この数の一番左の数を消した353も素数です。また、さらに一番左の数を消した53も素数で、最後に左側の数を消した3も素数になります。このような素数を「スペシャル素数」と呼ぶことにします。

いま、日付について、月、日の順に数字を並べて、2けた~4けたの数を考えます。例えば、613日ならば、613とする、ということです。これらの数の中でスペシャル素数になる日付は何回あるのでしょうか。

 

2けたの数になる場合、1313日)、1717日)、2323日)、3737日)、4343日)、5353日)、6767日)、7373日)、8383日)、9797日)の10回です。

 

3けたの数になる場合

113113日または113日)、223223日)、313313日)、317317日)、523523日)、613613日)、617617日)、823823日)の9回です。113113日と113日が考えられるので日付は2回と数えます。凡ミスをしないように。

 

そして最後に4けたの数になる場合は、実は1日しかありません。昨年までは祝日だったのに今年からは平日になるあの日ですね。わかりますよね。

真実はいつも1つ?

2019.06.10(Mon)

●成城学園校:清水    ●カテゴリー:

 みなさんは、『おばけ煙突』を知っていますか?

 かつて東京都足立区にあった、火力発電所(千住火力発電所)の煙突のことで、近隣の住民からそう呼ばれていました。ちょっと昔の話になりますので、おじいさんやおばあさん世代だとご存知の方もいらっしゃるかもしれませんね。そもそも隅田川沿いに火力発電所があったことが驚きですが、このあたりの詳細に関しては是非自分たちで調べてみて下さい。

 その煙突ですが、全部で4本あり上から見るとひし形に配置されていました。そのため、見る角度(方角)によっては、4本すべてが見える場合もあれば、1本しか見えない(お互いに重なってしまう)こともありました。2本や3本に見える見え方は解りますか?考えてみましょう。

 真実はいつも1つ!と眼鏡をかけた少年がかっこよく言い切りそうですが、見方によって、答えはひとつとは限らない(観察者によって真実が異なる)、という実例でもあります。

 

 さて、ここからが本題です。

 立体図形を紙に図として表す際には、いろいろと問題点があります(立体は3次元ですが紙面は2次元ですのでそこに起因します)。その図法としては見取り図が一般的ではありますが、他には展開図や投影図もあり、その都度条件や必要とするものにより使い分けをしています。実際に地球という球形を平面上で表した地図は、利用目的によりさまざまな図法が存在しています(せっかくですのでこれも自分で調べてみましょう)。

 今回はその内のひとつ、投影図についての問題です。

 まずは基本問題ですが、上から見たら円に見えて、正面や横から見たら三角形に見える形は何でしょうか。これくらいなら即答です...よね。答えは円すいです。

 では、上から見たら円に見えて、正面からは三角形に見えて、横からは長方形に見える形は何でしょうか。考えてみましょう。形としての名称があるわけではないので中学入試で直接出題される可能性は少ないでしょうが、それでもこういう経験が算数の底力を育ててくれるはずです。見取り図を作図し、算数の先生に判定をしてもらってください。チャレンジを待っています。ちなみに、ご家庭によってはほぼ同じ形のものがキッチン周りにあるかもしれませんよ。

定期試験

2019.05.28(Tue)

●吉祥寺校:金子    ●カテゴリー:

 まだ5月末ですが暑い日が続いていますね。そんな中,先週末や今週末が運動会という小学校も多いようです。熱中症には十分注意しつつ,楽しく盛り上がってくださいね。


 小学校が運動会シーズンを迎えている一方で,中学校では中間試験シーズンを迎えています。例えば,開成は今日まで,麻布・武蔵・雙葉は今日から中間試験です。入試を突破して中学に入っても試験は続きます・・・。


 定期試験前には「卒塾生」が勉強しに教室を訪ねてきてくれます。そしてそれが我々には秘かな楽しみだったりもします。久しぶりに会うと,成長して少し「大人」に近づいた姿に驚くとともに嬉しくもなりますし,ガンガン質問してくる姿は受験生時代を彷彿させてくれます。そして,その様子にこちらが感慨深くなったりもします。


 そんな彼ら彼女らにとっては定期試験「前」にどのような学習をするかが重要なわけですが,我々にとっては定期試験「後」が重要になってきます。具体的には様々な学校の定期試験の問題と採点された生徒答案を回収し,その内容についての分析を行います。というのも,定期試験の「ネタ」が翌年の入試問題に顔を出したりすることは決して珍しくありません。定期テストの傾向が大きく変わった年に入試問題の傾向も大きく変わったなんていうケースもありました。また,採点基準を公表していない学校が多くを占めている中,定期試験の採点基準が参考材料になります。もちろん,定期試験の採点基準と入学試験の採点基準が完全に一致するというわけではないでしょう。しかし,同じ学校の先生方が作成している採点基準なので大きく異なるということもありません。ちなみに入試の採点基準はトップシークレットとされている中学校が多いですが,採点基準の違いは世間で思われている以上に大きいのが実態です。同じような記述内容でも,ある中学校であればかなり部分点をくれるにも関わらず,別な中学校ではほとんど点数がもらえないなんていうケースも散見されます。そいうった事実を知る上でも,定期試験は我々にとってとても貴重な機会なのです。


 というわけで今このブログを読んでいる小学生の皆さん,中学生になっても定期試験前後には塾に顔を出してくださいね!

「続・続・続・続・続・続・続・続・算数よもやまばなし」

2019.05.09(Thu)

●大宮校:宮下    ●カテゴリー:

今年の算数の入試問題で多く目にしたのは【会話文による出題】でした。

もともと普連土学園中の定番で、最終問題が会話文形式で、その会話中の   を埋めていくというものでしたが、他の学校は、あまり見かけることがなく、普連土学園のオリジナルともいえる形式でしたが、今年は、複数の学校でこの形式の問題を目にしました。


栄東中東大Ⅰ大問2の『三角形の内部にある格子点の求め方』についての会話文を読んで結論の   にあてはまる数を答えさせ、設問に答える問題


獨協埼玉中第2回大問4の『買い物をしたときにもらうポイント(カード)のもらい方の違い』についての会話中の   にあてはまる数や言葉や理由を答えさせる問題


芝浦工大柏中第3回課題作文Ⅱ大問2の『スポーツの勝ち点制を新たなルールで考察する』会話文中の   にあてはまる数や言葉や理由を答えさせる問題


渋谷教育学園幕張中第2回大問3の『5人の通学距離や速さ・所要時間』の会話文を読んで設問に答える問題でかなり高度な考察が必要


渋谷教育学園渋谷中の第2回大問1(5)の『整数を2つ以上の整数の和で表す』ときの会話中の   にあてはまる数や言葉を答えさせる問題


城北中第1回大問5の『思い浮かべた2桁の数を当てるゲームで、その式を探り当てる』ときの会話中の   にあてはまる数を答えさせる問題


巣鴨中算数選抜大問5の『すべての位の数字が1であるNけたの整数の和を求める式を、変形して求める』ときの会話中の   にあてはまる数や理由を答えさせる問題


東京農大第一中第2回大問6の『ブラックボックスの規則』についての会話文中の   にあてはまる言葉や数を答えさせる問題


帝京大学中第3回大問3の『伏せて並べた5枚のカードの並びを当てる遊び』についての会話文を読んでその並びを当てる問題でその理由も答えさせる


富士見中第2回大問2Bの『思い浮かべた50以下の数を当てる』会話文を読んで設問に答える問題


桐蔭学園中等教育学校算数基礎の大問3の『1から始まる奇数の和を求めていく』ときの会話中の   にあてはまる数や言葉や理由を答えさせる問題


そして本家の普連土学園中第1回大問6の『マス目に規則にそった数を書き入れていく問題の考え方』の会話文中の   にあてはまる数や言葉を答えさせる問題


★さらに普連土学園中第3回大問6の『異なる重さの4色の玉の組み合わせ』の会話文中の   にあてはまる数を答えさせる問題


この流れは、次年度以降もさらに広がりそうです。

会話によるキャッチボールから、内容を推理したり、論理的に組み立てていくといった力が必要であり、将来の数学の論理性を見極める一助にもなっています。

特筆すべきは開成中の入試問題で、本年刷新されその体裁が大きく変わりました。その冒頭の大問1で純粋な会話文の適語補充の問題ではありませんが、【会話文による出題】というジャンルで出題されたことでしょう。速さの問題でしたが、様々な条件が付いており、距離が与えられていないため、速さのセンスの有無で出来不出来がきまったと思われます。もっともこの問題が解けなければ開成には合格できないと思いますが。

いずれにせよ、理由を述べることも含めて、受験生はこの形式に慣れておきたいですね。

雙葉の入試問題より

2019.04.08(Mon)

●池袋校:滝澤    ●カテゴリー:

 

今年雙葉中学で出題された[3]規則性の問題について考えてみましょう。

 

【問題】


 


5353/5291を小数で表します。

 

(1) 小数第8位まで計算しましょう。(筆算)     

(2) 小数第100位の数字は何ですか。またその数字は小数第100位までに,いくつありますか。                           

(3)  2019番目の1は小数第何位ですか。

 

【解説】

(1)5353÷5291の筆算をして,小数点以下の数が周期になっていることを使って解く問題です。普通はこのように解くでしょう。しかしやはり面倒です。筆算をせずにどんな数列の繰り返しになっているかを知る方法があります。数が無限に繰り返す循環小数の基本は次の通りです。なぜこうなるのかは各自で考えてみてくださいね。

1/9=0.1111......      (1の繰り返し)

1/990.01010......     (01の繰り返し)

1/9990.00100100......   (001の繰り返し)

......

よって5291を何倍かして各位に9が連続する数になるように倍分すればよいわけです。ここで,529111×13×37 と素因数分解をします。11×13,そして37という数字から,有名なかけ算を思い出すことができるでしょうか。

11×13×7100137×3111 

この2つのかけ算は有名なので知っておきましょう。

このことから,5291×7×31001×111111111 となり,5291×7×3×9999999 

つまり,5291189倍すれば96つ連続する数になるわけです。よって,5353÷5291の商の小数部分は,6つの数の繰り返しであることがわかります。

分子は分母より,62大きいので,62189倍すると,11718となります。これにより,繰り返す6つの数は,「011718」とわかります。

535352911.011718011718011718......

となるわけですね。

在校生との雑談から

2019.03.04(Mon)

●エクタス算数科    ●カテゴリー:

先日,現在雙葉中学校に通う1年生の子が遊びに来てくれました。

いろいろと学校の話を聞いている中で,突如

「そういえば私が受験したときの[3]の問題って何の展開図なの?」

と聞かれました。

「えっ?展開図?何のこと?」

私は意味がわからず聞き返しました。

話をじっくり聞いてみると,ある日の雙葉中学校1年い組の授業中,

(雙葉では1組,2組,3組,・・・ではなく,い組,ろ組,は組,・・・と呼んでいます)

数学の先生が

「今年の入試で[3]はある形の展開図なんだけど,

 あなたたちは試験中に何の形か気付いた?

 塾の先生たちはきっと気付いていると思うけどね。」

と仰ったそうです。

その時点で私は何の形かなど何も考えていませんでしたが,

学校の先生に挑戦状を叩きつけられた気分になり

「何の展開図なのか考えてみるから,ちょっと時間が欲しい!」

とその場では何の展開図かは聞かずに,しばらく考えてみることにしました。


ちなみに現中1が受験した2018年度[3]の問題は以下のような図でした。


さて,みなさんは何の展開図かわかるでしょうか?


私は一週間いろいろ考えましたが,何の展開図か全く思いつきませんでした。

一方で悩めば悩むほど答えが気になって仕方ありません。

そこで一週間後,敗北感を抱きつつ,その子に答えを教えてほしいと伝えると

「マクドナルドのポテトの箱の展開図なんだって!」

との返答が。

「???」

自分の中でどう展開してみてもあの図にはならないような・・・。

早速,マクドナルドへ直行し,ポテトだけを注文し実物で答え合わせ!

うーん,やっぱり違う・・・。

あくまで,学校の先生のイメージってことだったんですかね。

ちょっとガッカリしながら教室へ戻りました。


ところがその数日後・・・

同僚とマクドナルドで昼食をとり,何となくアップルパイを注文。

食べ終わった後,暇を持て余して箱を展開していると

「あっ,これは!!!」

そこにはまさに雙葉[3]の図と同じものが!

実は「ポテト」の箱ではなく「アップルパイ」の箱の展開図だったのです。


それにしても入試問題を作るときに,雙葉の先生が「アップルパイの箱」をネタにしたという事実は面白いですね!


                                 エクタス吉祥寺校 金子

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