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和が一定の場合の数

2016.11.07(Mon)

●池袋校:滝澤    ●カテゴリー:

 

2016年の麻布の入試問題を2017年用に改題した問題です。

 

2017は各位の和が10となる4けた整数です。このような整数を小さい順に並べると、次のようになります。

 

1009101810271036,......,90109100

 

2017は何番目になりますか。 」

 

いかがでしょうか。この問題は,書き上げ,数えて解いた方が多いのではないでしょうか。

千の位が1の場合

10□□......09,18,27,......,90 の10個

11□□......08,17,26,......,80 の9個

12□□......07,16,25,......,70 の8個

13□□......06,15,24,......,60 の7個

以下省略しますが,これを19□□まで考え,10+9+8+7+......+1=55個

千の位が2の場合は,2008,2017の2つだけなので,答えは57番目になります。

 

ところが,千の位が1の場合をもう少し早く解く方法もあります。この問題は0~9までの数を和が9になるように並べればよいので次のように考えます。

 

「 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 」と9つの○を書き、これを「|」で区切ることによって数字を表すことを考えます。

たとえば,「 ○ ○ | ○ ○ ○ ○ ○ | ○ ○ 」は252を表し,

「 ○ ○ ○ | | ○ ○ ○ ○ ○ ○ 」であれば,306を表すわけです。

このように考えると,0~9までの数を和が9になるように並べる場合の数は,

「 ○ 」9個と「 | 」2本の置かれる11か所の中から「 | 」が置かれる2か所を選べばよいことになるので,

11×10÷(2×1)=55通り となります。和が定まっているという条件の,場合の数の問題では,このような解法を覚えておきましょう。
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